Assignment #12:

By Amber Krug

I used the function f(x) = x2.  The following spreadsheet is the result:

 x y 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 11 121 12 144 13 169 14 196 15 225 16 256 17 289 18 324 19 361 20 400 21 441 22 484 23 529 24 576 25 625 26 676 27 729 28 784 29 841 30 900 31 961 32 1024

We can then graph the data to find the following:

I then investigated the Fibonacci Sequence.  The following is a table of the Fibonacci Sequence:

 n f(n) Ratio of every adjacent term Ratio of every second term Ratio of every third term Ratio of every fourth term 0 1 1 1 1 2 2 0.5 0.5 3 3 0.666667 0.333333 0.333333 4 5 0.6 0.4 0.2 0.2 5 8 0.625 0.375 0.25 0.125 6 13 0.615385 0.384615 0.230769 0.153846 7 21 0.619048 0.380952 0.238095 0.142857 8 34 0.617647 0.382353 0.235294 0.147059 9 55 0.618182 0.381818 0.236364 0.145455 10 89 0.617978 0.382022 0.235955 0.146067 11 144 0.618056 0.381944 0.236111 0.145833 12 233 0.618026 0.381974 0.236052 0.145923 13 377 0.618037 0.381963 0.236074 0.145889 14 610 0.618033 0.381967 0.236066 0.145902 15 987 0.618034 0.381966 0.236069 0.145897 16 1597 0.618034 0.381966 0.236068 0.145899 17 2584 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 18 4181 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 19 6765 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 20 10946 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 21 17711 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 22 28657 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 23 46368 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 24 75025 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 2 5 121393 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 26 196418 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 27 317811 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 28 514229 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 29 832040 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 30 1346269 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 31 2178309 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 32 3524578 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 33 5702887 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 34 9227465 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898

We see that as n increases, the ratio of every adjacent term approaches 0.618034.  When we look at the ratio of every second element, the limit approaches 0.381966; the ratio of every third element reaches a limit of 0.236068; the ratio of every fourth element reaches a limit of 0.145898.

If we alter the values of f(n) so that we result in the following:

 n f(n) Ratio of every adjacent term Ratio of every second term Ratio of every third term Ratio of every fourth term 0 1 1 2 0.5 2 3 0.666667 0.333333 3 5 0.6 0.4 0.2 4 8 0.625 0.375 0.25 0.125 5 13 0.615385 0.384615 0.230769 0.153846 6 21 0.619048 0.380952 0.238095 0.142857 7 34 0.617647 0.382353 0.235294 0.147059 8 55 0.618182 0.381818 0.236364 0.145455 9 89 0.617978 0.382022 0.235955 0.146067 10 144 0.618056 0.381944 0.236111 0.145833 11 233 0.618026 0.381974 0.236052 0.145923 12 377 0.618037 0.381963 0.236074 0.145889 13 610 0.618033 0.381967 0.236066 0.145902 14 987 0.618034 0.381966 0.236069 0.145897 15 1597 0.618034 0.381966 0.236068 0.145899 16 2584 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 17 4181 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 18 6765 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 19 10946 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 20 17711 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 21 28657 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 22 46368 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 23 75025 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 24 121393 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 25 196418 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 26 317811 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 27 514229 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 28 832040 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 29 1346269 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 30 2178309 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 31 3524578 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 32 5702887 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 33 9227465 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 34 14930352 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898

or

 n f(n) Ratio of every adjacent term Ratio of every second term Ratio of every third term Ratio of every fourth term 0 1 1 3 0.333333 2 4 0.75 0.25 3 7 0.571429 0.428571 0.142857 4 11 0.636364 0.363636 0.272727 0.090909 5 18 0.611111 0.388889 0.222222 0.166667 6 29 0.62069 0.37931 0.241379 0.137931 7 47 0.617021 0.382979 0.234043 0.148936 8 76 0.618421 0.381579 0.236842 0.144737 9 123 0.617886 0.382114 0.235772 0.146341 10 199 0.61809 0.38191 0.236181 0.145729 11 322 0.618012 0.381988 0.236025 0.145963 12 521 0.618042 0.381958 0.236084 0.145873 13 843 0.618031 0.381969 0.236062 0.145907 14 1364 0.618035 0.381965 0.23607 0.145894 15 2207 0.618034 0.381966 0.236067 0.145899 16 3571 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 17 5778 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 18 9349 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 19 15127 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 20 24476 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 21 39603 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 22 64079 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 23 103682 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 24 167761 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 25 271443 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 26 439204 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 27 710647 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 28 1149851 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 29 1860498 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 30 3010349 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 31 4870847 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 32 7881196 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 33 12752043 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 34 20633239 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898

or

 n f(n) Ratio of every adjacent term Ratio of every second term Ratio of every third term Ratio of every fourth term 0 1 1 4 0.25 2 5 0.8 0.2 3 9 0.555556 0.444444 0.111111 4 14 0.642857 0.357143 0.285714 0.071429 5 23 0.608696 0.391304 0.217391 0.173913 6 37 0.621622 0.378378 0.243243 0.135135 7 60 0.616667 0.383333 0.233333 0.15 8 97 0.618557 0.381443 0.237113 0.14433 9 157 0.617834 0.382166 0.235669 0.146497 10 254 0.61811 0.38189 0.23622 0.145669 11 411 0.618005 0.381995 0.23601 0.145985 12 665 0.618045 0.381955 0.23609 0.145865 13 1076 0.61803 0.38197 0.236059 0.145911 14 1741 0.618036 0.381964 0.236071 0.145893 15 2817 0.618033 0.381967 0.236067 0.1459 16 4558 0.618034 0.381966 0.236068 0.145897 17 7375 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 18 11933 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 19 19308 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 20 31241 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 21 50549 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 22 81790 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 23 132339 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 24 214129 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 25 346468 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 26 560597 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 27 907065 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 28 1467662 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 29 2374727 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 30 3842389 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 31 6217116 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 32 10059505 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 33 16276621 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898 34 26336126 0.618034 0.381966 0.236068 0.145898

We find that the limits of the ratios of the adjacent terms, second terms, third terms, and fourth terms all remain the same as our original table.